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多元复合函数的求导法则证明

多元复合函数的求导法则证明

浏览次数:1687次    时间:2025-08-20
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  • 多元复合函数是微积分中一个非常重要的概念,它描述了一种函数由多个函数复合而成的情况。在实际应用中,我们常常需要对多元复合函数求导,因此求导法则的证明就显得尤为重要。本文将介绍多元复合函数的求导法则,并对其证明进行详细讲解。

    一、多元复合函数的定义

    多元复合函数是指由多个函数复合而成的函数。具体来说,如果$f(x)$和$g(x)$是两个函数,那么它们的复合函数就是$f(g(x))$。如果再加上一个函数$h(x)$,那么就可以得到一个三元复合函数,即$f(g(h(x)))$。以此类推,如果有$n$个函数$f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$,那么它们的$n$元复合函数就是$f_1(f_2(\cdots f_n(x) \cdots ))$。

    二、多元复合函数的求导法则

    对于多元复合函数,我们需要使用链式法则来求导。链式法则是指,如果一个函数$y=f(u)$依赖于另一个函数$u=g(x)$,那么它们的导数之间存在以下的关系:

    $$\frac=\frac\cdot\frac$$

    对于多元复合函数,我们可以将其视为多个函数复合而成,然后依次使用链式法则求导。具体来说,如果$y=f(u_1,u_2,\cdots,u_n)$是一个$n$元复合函数,其中每个$u_i$都是一个$m_i$元函数,那么它的导数可以表示为:

    $$\frac=\sum_^\frac\cdot\frac$$

    其中,$\frac$表示$y$对$u_j$的偏导数,$\frac$表示$u_j$对$x_i$的偏导数。

    三、多元复合函数的求导法则证明

    http://easiu.com/common/images/Ertgxk4bJB_4.jpg

    现在我们来证明多元复合函数的求导法则。假设$y=f(u_1,u_2,\cdots,u_n)$是一个$n$元复合函数,其中每个$u_i$都是一个$m_i$元函数。我们要求$\frac$,即$y$对$x_i$的偏导数。

    首先,根据链式法则,我们可以得到:

    $$\frac=\frac\cdot\frac+\frac\cdot\frac+\cdots+\frac\cdot\frac$$

    接下来,我们考虑$\frac$的求法。由于$u_j$是一个$m_j$元函数,我们可以将其表示为$u_j=u_j(x_1,x_2,\cdots,x_m)$。因此,$y$可以表示为:

    $$y=f(u_1(x_1,x_2,\cdots,x_m),u_2(x_1,x_2,\cdots,x_m),\cdots,u_n(x_1,x_2,\cdots,x_m))$$

    根据偏导数的定义,我们可以得到:

    $$\frac=\sum_^\frac\cdot\frac$$

    其中,$\frac$表示$y$对$x_k$的偏导数,$\frac$表示$x_k$对$u_j$的偏导数。

    现在我们来求$\frac$。由于$u_j$是一个$m_j$元函数,因此它的偏导数可以表示为:

    $$\frac=\lim_\frac$$

    由于其他自变量$x_i(i\ne k)$不变,因此我们可以将$u_j(x_1,x_2,\cdots,x_k,\cdots,x_m)$表示为$u_j(x_1,x_2,\cdots,x_k,\cdots,x_,u_j,x_,\cdots,x_m)$。因此,$\frac$可以表示为:

    $$\frac=\frac{\frac}=\frac{\lim_\frac}$$

    接下来,我们将$\frac$带入原式中,得到:

    $$\frac=\sum_^\sum_^\frac\cdot\frac\cdot\frac$$

    由于$x_k$是一个自变量,因此$\frac$只有在$k=i$时才不为零。因此,我们可以将上式简化为:

    $$\frac=\sum_^\frac\cdot\frac$$

    这就是多元复合函数的求导法则。

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